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二叉搜索树
「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件:
- 对于根节点,左子树中所有节点的值
<
根节点的值<
右子树中所有节点的值; - 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树,即同样满足条件
1.
;
二叉搜索树的操作
查找节点
给定目标节点值 num
,可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 cur
,从二叉树的根节点 root
出发,循环比较节点值 cur.val
和 num
之间的大小关系
- 若
cur.val < num
,说明目标节点在cur
的右子树中,因此执行cur = cur.right
; - 若
cur.val > num
,说明目标节点在cur
的左子树中,因此执行cur = cur.left
; - 若
cur.val = num
,说明找到目标节点,跳出循环并返回该节点;
二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致,都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度,当二叉树平衡时,使用 O(\log n)
时间。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{search}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{search}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
插入节点
给定一个待插入元素 num
,为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质,插入操作分为两步:
- 查找插入位置:与查找操作相似,从根节点出发,根据当前节点值和
num
的大小关系循环向下搜索,直到越过叶节点(遍历至\text{null}
)时跳出循环; - 在该位置插入节点:初始化节点
num
,将该节点置于\text{null}
的位置;
二叉搜索树不允许存在重复节点,否则将违反其定义。因此,若待插入节点在树中已存在,则不执行插入,直接返回。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
为了插入节点,我们需要利用辅助节点 pre
保存上一轮循环的节点,这样在遍历至 \text{null}
时,我们可以获取到其父节点,从而完成节点插入操作。
与查找节点相同,插入节点使用 O(\log n)
时间。
删除节点
与插入节点类似,我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先,我们需要在二叉树中执行查找操作,获取待删除节点。接下来,根据待删除节点的子节点数量,删除操作需分为三种情况:
当待删除节点的子节点数量 = 0
时,表示待删除节点是叶节点,可以直接删除。
当待删除节点的子节点数量 = 1
时,将待删除节点替换为其子节点即可。
当待删除节点的子节点数量 = 2
时,删除操作分为三步:
- 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点,记为 nex;
- 在树中递归删除节点
nex
; - 使用
nex
替换待删除节点;
删除节点操作同样使用 O(\log n)
时间,其中查找待删除节点需要 O(\log n)
时间,获取中序遍历后继节点需要 O(\log n)
时间。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{get_inorder_next}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{binarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{remove}
[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{remove}
[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{binarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
排序
我们知道,二叉树的中序遍历遵循“左 \rightarrow
根 \rightarrow
右”的遍历顺序,而二叉搜索树满足“左子节点 <
根节点 <
右子节点”的大小关系。因此,在二叉搜索树中进行中序遍历时,总是会优先遍历下一个最小节点,从而得出一个重要性质:二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。
利用中序遍历升序的性质,我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n)
时间,无需额外排序,非常高效。
二叉搜索树的效率
假设给定 n
个数字,最常见的存储方式是「数组」。对于这串乱序的数字,常见操作的效率如下:
- 查找元素:由于数组是无序的,因此需要遍历数组来确定,使用
O(n)
时间; - 插入元素:只需将元素添加至数组尾部即可,使用
O(1)
时间; - 删除元素:先查找元素,使用
O(n)
时间,再在数组中删除该元素,使用O(n)
时间; - 获取最小 / 最大元素:需要遍历数组来确定,使用
O(n)
时间;
为了获得先验信息,我们可以预先将数组元素进行排序,得到一个「排序数组」。此时操作效率如下:
- 查找元素:由于数组已排序,可以使用二分查找,平均使用
O(\log n)
时间; - 插入元素:先查找插入位置,使用
O(\log n)
时间,再插入到指定位置,使用O(n)
时间; - 删除元素:先查找元素,使用
O(\log n)
时间,再在数组中删除该元素,使用O(n)
时间; - 获取最小 / 最大元素:数组头部和尾部元素即是最小和最大元素,使用
O(1)
时间;
观察可知,无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度呈现“偏科”的特点,即有的快有的慢。然而,二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶,在数据量 n
较大时具有显著优势。
无序数组 | 有序数组 | 二叉搜索树 | |
---|---|---|---|
查找指定元素 | O(n) |
O(\log n) |
O(\log n) |
插入元素 | O(1) |
O(n) |
O(\log n) |
删除元素 | O(n) |
O(n) |
O(\log n) |
获取最小 / 最大元素 | O(n) |
O(1) |
O(\log n) |
二叉搜索树的退化
在理想情况下,我们希望二叉搜索树是“平衡”的,这样就可以在 \log n
轮循环内查找任意节点。
然而,如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点,可能导致二叉树退化为链表,这时各种操作的时间复杂度也会退化为 O(n)
。
二叉搜索树常见应用
- 用作系统中的多级索引,实现高效的查找、插入、删除操作。
- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
- 用于存储数据流,以保持其有序状态。