# 哈希冲突

在理想情况下，哈希函数为每个输入生成唯一的输出，实现 key 和数组索引的一一对应。但实际上，**哈希函数的输入空间通常远大于输出空间**，因此多个输入产生相同输出的情况是不可避免的。例如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。

这种多个输入对应同一输出索引的现象被称为「哈希冲突 Hash Collision」。哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。哈希冲突的处理方法主要有两种：

- **扩大哈希表容量**：哈希表容量越大，键值对聚集的概率就越低。极端情况下，当输入空间和输出空间大小相等时，哈希表等同于数组，每个 key 都对应唯一的数组索引。
- **优化哈希表结构**：常用方法包括链式地址和开放寻址。这类方法的思路是通过改良数据结构，使得哈希表可以在发生哈希冲突时仍然可以正常工作。当然，这些优化往往是以牺牲时间效率为代价的。

## 哈希表扩容

哈希函数的最后一步通常是对桶数量 $n$ 取余，作用是将哈希值映射到桶索引范围，从而将 key 放入对应的桶中。当哈希表容量越大（即 $n$ 越大）时，多个 key 被分配到同一个桶中的概率就越低，冲突就越少。因此，**当哈希表内的冲突总体较为严重时，编程语言通常通过扩容哈希表来缓解冲突**。类似于数组扩容，哈希表扩容需将所有键值对从原哈希表迁移至新哈希表，开销较大。

编程语言通常使用「负载因子 Load Factor」来衡量哈希冲突的严重程度，**定义为哈希表中元素数量除以桶数量**，常作为哈希表扩容的触发条件。在 Java 中，当负载因子超过 $0.75$ 时，系统会将 HashMap 容量扩展为原先的 $2$ 倍。

## 链式地址

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 Separate Chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。

![链式地址哈希表](hash_collision.assets/hash_table_chaining.png)

链式地址下，哈希表的操作方法包括：

- **查询元素**：输入 key ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
- **删除元素**：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。

该方法存在一些局限性，包括：

- **占用空间增大**，由于链表或二叉树包含节点指针，相比数组更加耗费内存空间；
- **查询效率降低**，因为需要线性遍历链表来查找对应元素；

以下给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意：

- 为了使得代码尽量简短，我们使用列表（动态数组）代替链表。换句话说，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。
- 以下代码实现了哈希表扩容方法。具体来看，当负载因子超过 $0.75$ 时，我们将哈希表扩容至 $2$ 倍。

=== "Java"

    ```java title="hash_map_chaining.java"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="hash_map_chaining.cpp"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Python"

    ```python title="hash_map_chaining.py"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Go"

    ```go title="hash_map_chaining.go"
    [class]{pair}-[func]{}

    [class]{hashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="hash_map_chaining.js"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="hash_map_chaining.ts"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "C"

    ```c title="hash_map_chaining.c"
    [class]{pair}-[func]{}

    [class]{hashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="hash_map_chaining.cs"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="hash_map_chaining.swift"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="hash_map_chaining.zig"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="hash_map_chaining.dart"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

!!! tip

    为了提高效率，**我们可以将链表转换为「AVL 树」或「红黑树」**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。

## 开放寻址

「开放寻址 Open Addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希。

### 线性探测

线性探测采用固定步长的线性查找来进行探测，对应的哈希表操作方法为：

- **插入元素**：通过哈希函数计算数组索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 $1$ ），直至找到空位，将元素插入其中。
- **查找元素**：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 value 即可；或者若遇到空位，说明目标键值对不在哈希表中，返回 $\text{None}$ 。

![线性探测](hash_collision.assets/hash_table_linear_probing.png)

然而，线性探测存在以下缺陷：

- **不能直接删除元素**。删除元素会在数组内产生一个空位，查找其他元素时，该空位可能导致程序误判元素不存在。因此，需要借助一个标志位来标记已删除元素。
- **容易产生聚集**。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这一位置的“聚堆生长”，最终导致增删查改操作效率降低。

如以下代码所示，为开放寻址（线性探测）哈希表的简单实现，重点包括：

- 我们使用一个固定的键值对实例 `removed` 来标记已删除元素。也就是说，当一个桶为 $\text{None}$ 或 `removed` 时，这个桶都是空的，可用于放置键值对。
- 被标记为已删除的空间是可以再次被使用的。当插入元素时，若通过哈希函数找到了被标记为已删除的索引，则可将该元素放置到该索引。
- 在线性探测时，我们从当前索引 `index` 向后遍历；而当越过数组尾部时，需要回到头部继续遍历。

=== "Java"

    ```java title="hash_map_open_addressing.java"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="hash_map_open_addressing.cpp"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Python"

    ```python title="hash_map_open_addressing.py"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Go"

    ```go title="hash_map_open_addressing.go"
    [class]{pair}-[func]{}

    [class]{hashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="hash_map_open_addressing.js"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="hash_map_open_addressing.ts"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "C"

    ```c title="hash_map_open_addressing.c"
    [class]{pair}-[func]{}

    [class]{hashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="hash_map_open_addressing.cs"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="hash_map_open_addressing.swift"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="hash_map_open_addressing.zig"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="hash_map_open_addressing.dart"
    [class]{Pair}-[func]{}

    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

### 多次哈希

顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\cdots$ 进行探测。

- **插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推，直到找到空位后插入元素。
- **查找元素**：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；或遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 $\text{None}$ 。

与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量。

!!! note "编程语言的选择"

    Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。

    Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。

    Golang 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。