由于作者能力有限，书中难免存在一些遗漏和错误，请您谅解。如果您发现了笔误、失效链接、内容缺失、文字歧义、解释不清晰或行文结构不合理等问题，请协助我们进行修正，以帮助其他读者获得更优质的学习资源。
+所有撰稿人的 GitHub ID 将在仓库、网页版和 PDF 版的主页上进行展示，以感谢他们对开源社区的无私奉献。
开源的魅力
-纸质书籍的两次印刷的间隔时间往往需要数年，内容更新非常不方便。但在本开源书中，内容更迭的时间被缩短至数日甚至几个小时。
+纸质书籍的两次印刷的间隔时间往往需要数年，内容更新非常不方便。
+然而在本开源书中，内容更迭的时间被缩短至数日甚至几个小时。
由于作者能力有限，书中难免存在一些遗漏和错误，请您谅解。如果您发现了笔误、失效链接、内容缺失、文字歧义、解释不清晰或行文结构不合理等问题，请协助我们进行修正，以帮助其他读者获得更优质的学习资源。所有撰稿人将在仓库和网站主页上展示，以感谢他们对开源社区的无私奉献！
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-由于图片无法直接修改，因此需要通过新建 Issue 或评论留言来描述问题，我们会尽快重新绘制并替换图片。
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如果您有兴趣参与此开源项目，包括将代码翻译成其他编程语言、扩展文章内容等，那么需要实施 Pull Request 工作流程：
git clone 命令将仓库克隆至本地。/* 在数组中查找指定元素 */
function find(nums, target) {
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
- if (nums[i] == target) return i;
+ if (nums[i] === target) return i;
}
return -1;
}
diff --git a/chapter_array_and_linkedlist/index.html b/chapter_array_and_linkedlist/index.html
index 856dee6d6..d4e71d7d9 100644
--- a/chapter_array_and_linkedlist/index.html
+++ b/chapter_array_and_linkedlist/index.html
@@ -1769,6 +1769,8 @@
+
+
@@ -1837,14 +1839,50 @@
+
+
+
+
+
+ 10.2. 二分查找插入点
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
+
+
+
+
+
+
@@ -1862,7 +1900,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1882,7 +1920,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1902,7 +1940,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3318,9 +3356,8 @@
Abstract
-数组的砖块整齐排列，紧贴在一起。
-链表的砖块分散各处，连接的藤蔓自由地穿梭于砖缝之间。
-它们共同构成了数据结构的世界。
+数据结构的世界如同一睹厚实的砖墙。
+数组的砖块整齐排列，逐个紧贴。链表的砖块分散各处，连接的藤蔓自由地穿梭于砖缝之间。
Abstract
-我们如同迷宫中的探索者，在寻找出口的道路上可能会遇到困难。
-回溯的力量让我们能够重新开始，最终寻找到正确的道路。
+我们如同迷宫中的探索者，在前进的道路上可能会遇到困难。
+回溯的力量让我们能够重新开始，不断尝试，最终找到通往光明的出口。
[class]{}-[func]{backtrack}
-
-[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
+subset_sum_i_naive.js/* 回溯算法：子集和 I */
+function backtrack(state, target, total, choices, res) {
+ // 子集和等于 target 时，记录解
+ if (total === target) {
+ res.push([...state]);
+ return;
+ }
+ // 遍历所有选择
+ for (let i = 0; i < choices.length; i++) {
+ // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
+ if (total + choices[i] > target) {
+ continue;
+ }
+ // 尝试：做出选择，更新元素和 total
+ state.push(choices[i]);
+ // 进行下一轮选择
+ backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
+ // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+ state.pop();
+ }
+}
+
+/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
+function subsetSumINaive(nums, target) {
+ const state = []; // 状态（子集）
+ const total = 0; // 子集和
+ const res = []; // 结果列表（子集列表）
+ backtrack(state, target, total, nums, res);
+ return res;
+}
[class]{}-[func]{backtrack}
-
-[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
+subset_sum_i_naive.ts/* 回溯算法：子集和 I */
+function backtrack(
+ state: number[],
+ target: number,
+ total: number,
+ choices: number[],
+ res: number[][]
+): void {
+ // 子集和等于 target 时，记录解
+ if (total === target) {
+ res.push([...state]);
+ return;
+ }
+ // 遍历所有选择
+ for (let i = 0; i < choices.length; i++) {
+ // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
+ if (total + choices[i] > target) {
+ continue;
+ }
+ // 尝试：做出选择，更新元素和 total
+ state.push(choices[i]);
+ // 进行下一轮选择
+ backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
+ // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+ state.pop();
+ }
+}
+
+/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
+function subsetSumINaive(nums: number[], target: number): number[][] {
+ const state = []; // 状态（子集）
+ const total = 0; // 子集和
+ const res = []; // 结果列表（子集列表）
+ backtrack(state, target, total, nums, res);
+ return res;
+}
[class]{}-[func]{backtrack}
-
-[class]{}-[func]{subsetSumI}
+subset_sum_i.js/* 回溯算法：子集和 I */
+function backtrack(state, target, choices, start, res) {
+ // 子集和等于 target 时，记录解
+ if (target === 0) {
+ res.push([...state]);
+ return;
+ }
+ // 遍历所有选择
+ // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+ for (let i = start; i < choices.length; i++) {
+ // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+ // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+ if (target - choices[i] < 0) {
+ break;
+ }
+ // 尝试：做出选择，更新 target, start
+ state.push(choices[i]);
+ // 进行下一轮选择
+ backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
+ // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+ state.pop();
+ }
+}
+
+/* 求解子集和 I */
+function subsetSumI(nums, target) {
+ const state = []; // 状态（子集）
+ nums.sort(); // 对 nums 进行排序
+ const start = 0; // 遍历起始点
+ const res = []; // 结果列表（子集列表）
+ backtrack(state, target, nums, start, res);
+ return res;
+}
[class]{}-[func]{backtrack}
-
-[class]{}-[func]{subsetSumI}
+subset_sum_i.ts/* 回溯算法：子集和 I */
+function backtrack(
+ state: number[],
+ target: number,
+ choices: number[],
+ start: number,
+ res: number[][]
+): void {
+ // 子集和等于 target 时，记录解
+ if (target === 0) {
+ res.push([...state]);
+ return;
+ }
+ // 遍历所有选择
+ // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+ for (let i = start; i < choices.length; i++) {
+ // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+ // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+ if (target - choices[i] < 0) {
+ break;
+ }
+ // 尝试：做出选择，更新 target, start
+ state.push(choices[i]);
+ // 进行下一轮选择
+ backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
+ // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+ state.pop();
+ }
+}
+
+/* 求解子集和 I */
+function subsetSumI(nums: number[], target: number): number[][] {
+ const state = []; // 状态（子集）
+ nums.sort(); // 对 nums 进行排序
+ const start = 0; // 遍历起始点
+ const res = []; // 结果列表（子集列表）
+ backtrack(state, target, nums, start, res);
+ return res;
+}
[class]{}-[func]{backtrack}
-
-[class]{}-[func]{subsetSumII}
+subset_sum_ii.js/* 回溯算法：子集和 II */
+function backtrack(state, target, choices, start, res) {
+ // 子集和等于 target 时，记录解
+ if (target === 0) {
+ res.push([...state]);
+ return;
+ }
+ // 遍历所有选择
+ // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+ // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
+ for (let i = start; i < choices.length; i++) {
+ // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+ // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+ if (target - choices[i] < 0) {
+ break;
+ }
+ // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
+ if (i > start && choices[i] === choices[i - 1]) {
+ continue;
+ }
+ // 尝试：做出选择，更新 target, start
+ state.push(choices[i]);
+ // 进行下一轮选择
+ backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
+ // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+ state.pop();
+ }
+}
+
+/* 求解子集和 II */
+function subsetSumII(nums, target) {
+ const state = []; // 状态（子集）
+ nums.sort(); // 对 nums 进行排序
+ const start = 0; // 遍历起始点
+ const res = []; // 结果列表（子集列表）
+ backtrack(state, target, nums, start, res);
+ return res;
+}
[class]{}-[func]{backtrack}
-
-[class]{}-[func]{subsetSumII}
+subset_sum_ii.ts/* 回溯算法：子集和 II */
+function backtrack(
+ state: number[],
+ target: number,
+ choices: number[],
+ start: number,
+ res: number[][]
+): void {
+ // 子集和等于 target 时，记录解
+ if (target === 0) {
+ res.push([...state]);
+ return;
+ }
+ // 遍历所有选择
+ // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+ // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
+ for (let i = start; i < choices.length; i++) {
+ // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+ // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+ if (target - choices[i] < 0) {
+ break;
+ }
+ // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
+ if (i > start && choices[i] === choices[i - 1]) {
+ continue;
+ }
+ // 尝试：做出选择，更新 target, start
+ state.push(choices[i]);
+ // 进行下一轮选择
+ backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
+ // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+ state.pop();
+ }
+}
+
+/* 求解子集和 II */
+function subsetSumII(nums: number[], target: number): number[][] {
+ const state = []; // 状态（子集）
+ nums.sort(); // 对 nums 进行排序
+ const start = 0; // 遍历起始点
+ const res = []; // 结果列表（子集列表）
+ backtrack(state, target, nums, start, res);
+ return res;
+}
/* 指数阶（递归实现） */
function expRecur(n) {
- if (n == 1) return 1;
+ if (n === 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
/* 指数阶（递归实现） */
function expRecur(n: number): number {
- if (n == 1) return 1;
+ if (n === 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
/* 阶乘阶（递归实现） */
function factorialRecur(n) {
- if (n == 0) return 1;
+ if (n === 0) return 1;
let count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (let i = 0; i < n; i++) {
@@ -6039,7 +6077,7 @@ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
time_complexity.ts/* 阶乘阶（递归实现） */
function factorialRecur(n: number): number {
- if (n == 0) return 1;
+ if (n === 0) return 1;
let count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (let i = 0; i < n; i++) {
diff --git a/chapter_data_structure/basic_data_types/index.html b/chapter_data_structure/basic_data_types/index.html
index e04f70574..656806f9e 100644
--- a/chapter_data_structure/basic_data_types/index.html
+++ b/chapter_data_structure/basic_data_types/index.html
@@ -1779,6 +1779,8 @@
+
+
@@ -1847,14 +1849,50 @@
+ -
+
+
+
+
+ 10.2. 二分查找插入点
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
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+
+
+
+
+
+
-
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
+
+
+
+
+
+
@@ -1872,7 +1910,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1892,7 +1930,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1912,7 +1950,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_data_structure/character_encoding/index.html b/chapter_data_structure/character_encoding/index.html
index 9a980c9d5..649cf7ded 100644
--- a/chapter_data_structure/character_encoding/index.html
+++ b/chapter_data_structure/character_encoding/index.html
@@ -1844,6 +1844,8 @@
+
+
@@ -1912,14 +1914,50 @@
+ -
+
+
+
+
+ 10.2. 二分查找插入点
+
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-
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
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+
+
+
@@ -1937,7 +1975,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1957,7 +1995,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1977,7 +2015,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_data_structure/classification_of_data_structure/index.html b/chapter_data_structure/classification_of_data_structure/index.html
index 277418582..1519eabe9 100644
--- a/chapter_data_structure/classification_of_data_structure/index.html
+++ b/chapter_data_structure/classification_of_data_structure/index.html
@@ -1823,6 +1823,8 @@
+
+
@@ -1891,14 +1893,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
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+
@@ -1916,7 +1954,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1936,7 +1974,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1956,7 +1994,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_data_structure/index.html b/chapter_data_structure/index.html
index 009194783..3f8a2fc32 100644
--- a/chapter_data_structure/index.html
+++ b/chapter_data_structure/index.html
@@ -1769,6 +1769,8 @@
+
+
@@ -1837,14 +1839,50 @@
+ -
+
+
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+
+ 10.2. 二分查找插入点
+
+
+
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+
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-
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
+
+
+
+
+
+
@@ -1862,7 +1900,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1882,7 +1920,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1902,7 +1940,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_data_structure/number_encoding/index.html b/chapter_data_structure/number_encoding/index.html
index bbfa735f6..69f6ba7bb 100644
--- a/chapter_data_structure/number_encoding/index.html
+++ b/chapter_data_structure/number_encoding/index.html
@@ -1823,6 +1823,8 @@
+
+
@@ -1891,14 +1893,50 @@
+ -
+
+
+
+
+ 10.2. 二分查找插入点
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
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-
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
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+
+
+
+
+
@@ -1916,7 +1954,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1936,7 +1974,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1956,7 +1994,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_data_structure/summary/index.html b/chapter_data_structure/summary/index.html
index 7defcc0ea..c85ae82a9 100644
--- a/chapter_data_structure/summary/index.html
+++ b/chapter_data_structure/summary/index.html
@@ -1816,6 +1816,8 @@
+
+
@@ -1884,14 +1886,50 @@
+ -
+
+
+
+
+ 10.2. 二分查找插入点
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
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+
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+
+
+
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+
-
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
+
+
+
+
+
+
@@ -1909,7 +1947,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1929,7 +1967,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1949,7 +1987,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html b/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html
index 741f671c0..5848b96b0 100644
--- a/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
+
+
@@ -1835,14 +1837,50 @@
+ -
+
+
+
+
+ 10.2. 二分查找插入点
+
+
+
+
+
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+
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+
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+
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+
-
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
+
+
+
+
+
+
@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3520,15 +3558,61 @@
-binary_search_recur.js[class]{}-[func]{dfs}
-
-[class]{}-[func]{binarySearch}
+binary_search_recur.js/* 二分查找：问题 f(i, j) */
+function dfs(nums, target, i, j) {
+ // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
+ if (i > j) {
+ return -1;
+ }
+ // 计算中点索引 m
+ const m = i + ((j - i) >> 1);
+ if (nums[m] < target) {
+ // 递归子问题 f(m+1, j)
+ return dfs(nums, target, m + 1, j);
+ } else if (nums[m] > target) {
+ // 递归子问题 f(i, m-1)
+ return dfs(nums, target, i, m - 1);
+ } else {
+ // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+}
+
+/* 二分查找 */
+function binarySearch(nums, target) {
+ const n = nums.length;
+ // 求解问题 f(0, n-1)
+ return dfs(nums, target, 0, n - 1);
+}
-binary_search_recur.ts[class]{}-[func]{dfs}
-
-[class]{}-[func]{binarySearch}
+binary_search_recur.ts/* 二分查找：问题 f(i, j) */
+function dfs(nums: number[], target: number, i: number, j: number): number {
+ // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
+ if (i > j) {
+ return -1;
+ }
+ // 计算中点索引 m
+ const m = i + ((j - i) >> 1);
+ if (nums[m] < target) {
+ // 递归子问题 f(m+1, j)
+ return dfs(nums, target, m + 1, j);
+ } else if (nums[m] > target) {
+ // 递归子问题 f(i, m-1)
+ return dfs(nums, target, i, m - 1);
+ } else {
+ // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+}
+
+/* 二分查找 */
+function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
+ const n = nums.length;
+ // 求解问题 f(0, n-1)
+ return dfs(nums, target, 0, n - 1);
+}
diff --git a/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html b/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html
index 68699232f..16087e008 100644
--- a/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
+
+
@@ -1835,14 +1837,50 @@
+ -
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+
+ 10.2. 二分查找插入点
+
+
+
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
+
+
+
+
+
+
@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3609,15 +3647,68 @@
-build_tree.js[class]{}-[func]{dfs}
-
-[class]{}-[func]{buildTree}
+build_tree.js/* 构建二叉树：分治 */
+function dfs(preorder, inorder, hmap, i, l, r) {
+ // 子树区间为空时终止
+ if (r - l < 0) return null;
+ // 初始化根节点
+ const root = new TreeNode(preorder[i]);
+ // 查询 m ，从而划分左右子树
+ const m = hmap.get(preorder[i]);
+ // 子问题：构建左子树
+ root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
+ // 子问题：构建右子树
+ root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
+ // 返回根节点
+ return root;
+}
+
+/* 构建二叉树 */
+function buildTree(preorder, inorder) {
+ // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
+ let hmap = new Map();
+ for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
+ hmap.set(inorder[i], i);
+ }
+ const root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1);
+ return root;
+}
-build_tree.ts[class]{}-[func]{dfs}
-
-[class]{}-[func]{buildTree}
+build_tree.ts/* 构建二叉树：分治 */
+function dfs(
+ preorder: number[],
+ inorder: number[],
+ hmap: Map<number, number>,
+ i: number,
+ l: number,
+ r: number
+): TreeNode | null {
+ // 子树区间为空时终止
+ if (r - l < 0) return null;
+ // 初始化根节点
+ const root: TreeNode = new TreeNode(preorder[i]);
+ // 查询 m ，从而划分左右子树
+ const m = hmap.get(preorder[i]);
+ // 子问题：构建左子树
+ root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
+ // 子问题：构建右子树
+ root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
+ // 返回根节点
+ return root;
+}
+
+/* 构建二叉树 */
+function buildTree(preorder: number[], inorder: number[]): TreeNode | null {
+ // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
+ let hmap = new Map<number, number>();
+ for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
+ hmap.set(inorder[i], i);
+ }
+ const root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1);
+ return root;
+}
diff --git a/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html b/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html
index ecc6d6e0e..b8745578c 100644
--- a/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
+
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
+
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
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+
+
+
+
@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html b/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html
index 73445a464..40b5e47ec 100644
--- a/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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-
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
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+
@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3612,19 +3650,67 @@
-hanota.js[class]{}-[func]{move}
-
-[class]{}-[func]{dfs}
-
-[class]{}-[func]{hanota}
+hanota.js/* 移动一个圆盘 */
+function move(src, tar) {
+ // 从 src 顶部拿出一个圆盘
+ const pan = src.pop();
+ // 将圆盘放入 tar 顶部
+ tar.push(pan);
+}
+
+/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
+function dfs(i, src, buf, tar) {
+ // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
+ if (i === 1) {
+ move(src, tar);
+ return;
+ }
+ // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
+ dfs(i - 1, src, tar, buf);
+ // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
+ move(src, tar);
+ // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
+ dfs(i - 1, buf, src, tar);
+}
+
+/* 求解汉诺塔 */
+function hanota(A, B, C) {
+ const n = A.length;
+ // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
+ dfs(n, A, B, C);
+}
-hanota.ts[class]{}-[func]{move}
-
-[class]{}-[func]{dfs}
-
-[class]{}-[func]{hanota}
+hanota.ts/* 移动一个圆盘 */
+function move(src: number[], tar: number[]): void {
+ // 从 src 顶部拿出一个圆盘
+ const pan = src.pop();
+ // 将圆盘放入 tar 顶部
+ tar.push(pan);
+}
+
+/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
+function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
+ // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
+ if (i === 1) {
+ move(src, tar);
+ return;
+ }
+ // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
+ dfs(i - 1, src, tar, buf);
+ // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
+ move(src, tar);
+ // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
+ dfs(i - 1, buf, src, tar);
+}
+
+/* 求解汉诺塔 */
+function hanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
+ const n = A.length;
+ // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
+ dfs(n, A, B, C);
+}
diff --git a/chapter_divide_and_conquer/index.html b/chapter_divide_and_conquer/index.html
index b0c2230c8..759417704 100644
--- a/chapter_divide_and_conquer/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
+
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3318,8 +3356,8 @@
Abstract
-分治一次又一次地拆解难题，每一次的拆解都让问题变得更为简单。
-从简单做起，一切都不再复杂。
+难题被逐层拆解，每一次的拆解都使它变得更为简单。
+分而治之揭示了一个重要的事实：从简单做起，一切都不再复杂。
本章内容¶
diff --git a/chapter_divide_and_conquer/summary/index.html b/chapter_divide_and_conquer/summary/index.html
index dca000c9c..aba7e9833 100644
--- a/chapter_divide_and_conquer/summary/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/summary/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/index.html b/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/index.html
index 7d6e26c5f..dad4cd450 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/index.html
+++ b/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html b/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html
index 5a3c7f04f..e5ac00e48 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html
+++ b/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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+ 10.3. 二分查找边界
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- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/index.html b/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/index.html
index d8d928ba9..4bfd55142 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/index.html
+++ b/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_dynamic_programming/index.html b/chapter_dynamic_programming/index.html
index bcb415187..77e104f36 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/index.html
+++ b/chapter_dynamic_programming/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming/index.html b/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming/index.html
index 9c3a981dd..4ce2e2d33 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming/index.html
+++ b/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3812,7 +3850,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
climbing_stairs_dfs.js/* 搜索 */
function dfs(i) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
- if (i == 1 || i == 2) return i;
+ if (i === 1 || i === 2) return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
@@ -3828,7 +3866,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
climbing_stairs_dfs.ts/* 搜索 */
function dfs(i: number): number {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
- if (i == 1 || i == 2) return i;
+ if (i === 1 || i === 2) return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
@@ -4041,7 +4079,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
climbing_stairs_dfs_mem.js/* 记忆化搜索 */
function dfs(i, mem) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
- if (i == 1 || i == 2) return i;
+ if (i === 1 || i === 2) return i;
// 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
if (mem[i] != -1) return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
@@ -4063,7 +4101,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
climbing_stairs_dfs_mem.ts/* 记忆化搜索 */
function dfs(i: number, mem: number[]): number {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
- if (i == 1 || i == 2) return i;
+ if (i === 1 || i === 2) return i;
// 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
if (mem[i] != -1) return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
@@ -4277,7 +4315,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
climbing_stairs_dp.js/* 爬楼梯：动态规划 */
function climbingStairsDP(n) {
- if (n == 1 || n == 2) return n;
+ if (n === 1 || n === 2) return n;
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
// 初始状态：预设最小子问题的解
@@ -4294,7 +4332,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
climbing_stairs_dp.ts/* 爬楼梯：动态规划 */
function climbingStairsDP(n: number): number {
- if (n == 1 || n == 2) return n;
+ if (n === 1 || n === 2) return n;
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
// 初始状态：预设最小子问题的解
@@ -4466,7 +4504,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
climbing_stairs_dp.js/* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
function climbingStairsDPComp(n) {
- if (n == 1 || n == 2) return n;
+ if (n === 1 || n === 2) return n;
let a = 1,
b = 2;
for (let i = 3; i <= n; i++) {
@@ -4481,7 +4519,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
climbing_stairs_dp.ts/* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
function climbingStairsDPComp(n: number): number {
- if (n == 1 || n == 2) return n;
+ if (n === 1 || n === 2) return n;
let a = 1,
b = 2;
for (let i = 3; i <= n; i++) {
diff --git a/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html b/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html
index 9c42ebd69..6ad16c28b 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html
+++ b/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
+
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_dynamic_programming/summary/index.html b/chapter_dynamic_programming/summary/index.html
index 87ef82f11..b1ab67b87 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/summary/index.html
+++ b/chapter_dynamic_programming/summary/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/index.html b/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/index.html
index 700f68ff4..ef6e7768b 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/index.html
+++ b/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_graph/graph/index.html b/chapter_graph/graph/index.html
index 476352112..30faa18d1 100644
--- a/chapter_graph/graph/index.html
+++ b/chapter_graph/graph/index.html
@@ -1857,6 +1857,8 @@
+
+
@@ -1925,14 +1927,50 @@
+ -
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+
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+ 10.2. 二分查找插入点
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-
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
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+
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+
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+
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@@ -1950,7 +1988,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1970,7 +2008,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1990,7 +2028,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_graph/graph_operations/index.html b/chapter_graph/graph_operations/index.html
index 767737357..fd8f1db85 100644
--- a/chapter_graph/graph_operations/index.html
+++ b/chapter_graph/graph_operations/index.html
@@ -1830,6 +1830,8 @@
+
+
@@ -1898,14 +1900,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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-
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
+
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@@ -1923,7 +1961,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1943,7 +1981,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1963,7 +2001,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3831,7 +3869,7 @@
if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
throw new RangeError('Index Out Of Bounds Exception');
}
- // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
+ // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) === (j, i)
this.adjMat[i][j] = 1;
this.adjMat[j][i] = 1;
}
@@ -3921,7 +3959,7 @@
if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
throw new RangeError('Index Out Of Bounds Exception');
}
- // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
+ // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) === (j, i)
this.adjMat[i][j] = 1;
this.adjMat[j][i] = 1;
}
diff --git a/chapter_graph/graph_traversal/index.html b/chapter_graph/graph_traversal/index.html
index 55ef1d3fb..04ce8c6df 100644
--- a/chapter_graph/graph_traversal/index.html
+++ b/chapter_graph/graph_traversal/index.html
@@ -1863,6 +1863,8 @@
+
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@@ -1931,14 +1933,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1956,7 +1994,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1976,7 +2014,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1996,7 +2034,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_graph/index.html b/chapter_graph/index.html
index 35206e6d5..199cd29ec 100644
--- a/chapter_graph/index.html
+++ b/chapter_graph/index.html
@@ -1769,6 +1769,8 @@
+
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@@ -1837,14 +1839,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1862,7 +1900,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1882,7 +1920,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1902,7 +1940,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_graph/summary/index.html b/chapter_graph/summary/index.html
index 5a69b33aa..a74fa4a82 100644
--- a/chapter_graph/summary/index.html
+++ b/chapter_graph/summary/index.html
@@ -1816,6 +1816,8 @@
+
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@@ -1884,14 +1886,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1909,7 +1947,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1929,7 +1967,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1949,7 +1987,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem/index.html b/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem/index.html
index cea1f0a0e..22bc4b752 100644
--- a/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem/index.html
+++ b/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_greedy/greedy_algorithm/index.html b/chapter_greedy/greedy_algorithm/index.html
index c536d0b41..7e62830ce 100644
--- a/chapter_greedy/greedy_algorithm/index.html
+++ b/chapter_greedy/greedy_algorithm/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
+
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_greedy/index.html b/chapter_greedy/index.html
index c8d853f92..b9be11d7e 100644
--- a/chapter_greedy/index.html
+++ b/chapter_greedy/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
+
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3319,7 +3357,7 @@
Abstract
向日葵朝着太阳转动，时刻都在追求自身成长的最大可能。
-贪心策略既直接又高效，在一轮轮简单选择中逐步导向最佳答案。
+贪心策略在一轮轮的简单选择中，逐步导向最佳的答案。
本章内容¶
diff --git a/chapter_greedy/max_capacity_problem/index.html b/chapter_greedy/max_capacity_problem/index.html
index aeffc70d0..adaaa07cc 100644
--- a/chapter_greedy/max_capacity_problem/index.html
+++ b/chapter_greedy/max_capacity_problem/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_greedy/max_product_cutting_problem/index.html b/chapter_greedy/max_product_cutting_problem/index.html
index 093300b27..f5544c097 100644
--- a/chapter_greedy/max_product_cutting_problem/index.html
+++ b/chapter_greedy/max_product_cutting_problem/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_greedy/summary/index.html b/chapter_greedy/summary/index.html
index 46ac4a4d3..8386b82ad 100644
--- a/chapter_greedy/summary/index.html
+++ b/chapter_greedy/summary/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
+
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@@ -1835,14 +1837,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_hashing/hash_algorithm/index.html b/chapter_hashing/hash_algorithm/index.html
index 22e6b5e9d..41b8c582c 100644
--- a/chapter_hashing/hash_algorithm/index.html
+++ b/chapter_hashing/hash_algorithm/index.html
@@ -1837,6 +1837,8 @@
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@@ -1905,14 +1907,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1930,7 +1968,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1950,7 +1988,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1970,7 +2008,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_hashing/hash_collision/index.html b/chapter_hashing/hash_collision/index.html
index 1b5a3a872..e6749e4cc 100644
--- a/chapter_hashing/hash_collision/index.html
+++ b/chapter_hashing/hash_collision/index.html
@@ -1850,6 +1850,8 @@
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@@ -1918,14 +1920,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1943,7 +1981,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1963,7 +2001,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1983,7 +2021,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_hashing/hash_map/index.html b/chapter_hashing/hash_map/index.html
index e66ce7d81..146db3783 100644
--- a/chapter_hashing/hash_map/index.html
+++ b/chapter_hashing/hash_map/index.html
@@ -1830,6 +1830,8 @@
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@@ -1898,14 +1900,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1923,7 +1961,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1943,7 +1981,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1963,7 +2001,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_hashing/index.html b/chapter_hashing/index.html
index 5dba18c68..b359f694d 100644
--- a/chapter_hashing/index.html
+++ b/chapter_hashing/index.html
@@ -1769,6 +1769,8 @@
+
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@@ -1837,14 +1839,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1862,7 +1900,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1882,7 +1920,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1902,7 +1940,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_hashing/summary/index.html b/chapter_hashing/summary/index.html
index 65cc4dd5f..f22dbe695 100644
--- a/chapter_hashing/summary/index.html
+++ b/chapter_hashing/summary/index.html
@@ -1816,6 +1816,8 @@
+
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@@ -1884,14 +1886,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1909,7 +1947,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1929,7 +1967,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1949,7 +1987,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_heap/build_heap/index.html b/chapter_heap/build_heap/index.html
index d35f2bfcb..90fd4e8c5 100644
--- a/chapter_heap/build_heap/index.html
+++ b/chapter_heap/build_heap/index.html
@@ -1830,6 +1830,8 @@
+
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@@ -1898,14 +1900,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1923,7 +1961,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1943,7 +1981,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1963,7 +2001,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_heap/heap/index.html b/chapter_heap/heap/index.html
index da3a8d919..94a051bfb 100644
--- a/chapter_heap/heap/index.html
+++ b/chapter_heap/heap/index.html
@@ -1864,6 +1864,8 @@
+
+
@@ -1932,14 +1934,50 @@
+ -
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
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+
@@ -1957,7 +1995,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1977,7 +2015,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1997,7 +2035,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -4631,7 +4669,7 @@
if (l < this.size() && this.#maxHeap[l] > this.#maxHeap[ma]) ma = l;
if (r < this.size() && this.#maxHeap[r] > this.#maxHeap[ma]) ma = r;
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
- if (ma == i) break;
+ if (ma === i) break;
// 交换两节点
this.#swap(i, ma);
// 循环向下堆化
@@ -4665,7 +4703,7 @@
if (l < this.size() && this.maxHeap[l] > this.maxHeap[ma]) ma = l;
if (r < this.size() && this.maxHeap[r] > this.maxHeap[ma]) ma = r;
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
- if (ma == i) break;
+ if (ma === i) break;
// 交换两节点
this.swap(i, ma);
// 循环向下堆化
diff --git a/chapter_heap/index.html b/chapter_heap/index.html
index 5c60a696f..870c7d4fc 100644
--- a/chapter_heap/index.html
+++ b/chapter_heap/index.html
@@ -1769,6 +1769,8 @@
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@@ -1837,14 +1839,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1862,7 +1900,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1882,7 +1920,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1902,7 +1940,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_heap/summary/index.html b/chapter_heap/summary/index.html
index 23c4f5167..146de98b0 100644
--- a/chapter_heap/summary/index.html
+++ b/chapter_heap/summary/index.html
@@ -1816,6 +1816,8 @@
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@@ -1884,14 +1886,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1909,7 +1947,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1929,7 +1967,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1949,7 +1987,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_heap/top_k/index.html b/chapter_heap/top_k/index.html
index 39ab62293..7e2810fb0 100644
--- a/chapter_heap/top_k/index.html
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@@ -1830,6 +1830,8 @@
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@@ -1898,14 +1900,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
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@@ -1923,7 +1961,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1943,7 +1981,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1963,7 +2001,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_introduction/algorithms_are_everywhere/index.html b/chapter_introduction/algorithms_are_everywhere/index.html
index ce248f8a5..4b69bde3a 100644
--- a/chapter_introduction/algorithms_are_everywhere/index.html
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@@ -1779,6 +1779,8 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1872,7 +1910,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
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@@ -1892,7 +1930,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
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@@ -1912,7 +1950,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_introduction/index.html b/chapter_introduction/index.html
index 9c627ee17..b908c53d6 100644
--- a/chapter_introduction/index.html
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+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1862,7 +1900,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1882,7 +1920,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1902,7 +1940,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_introduction/summary/index.html b/chapter_introduction/summary/index.html
index 427e7d928..e212b26f1 100644
--- a/chapter_introduction/summary/index.html
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@@ -1872,7 +1910,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1892,7 +1930,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1912,7 +1950,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_introduction/what_is_dsa/index.html b/chapter_introduction/what_is_dsa/index.html
index a69346d5d..0ebb28c0f 100644
--- a/chapter_introduction/what_is_dsa/index.html
+++ b/chapter_introduction/what_is_dsa/index.html
@@ -1830,6 +1830,8 @@
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@@ -1898,14 +1900,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1923,7 +1961,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1943,7 +1981,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1963,7 +2001,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_preface/about_the_book/index.html b/chapter_preface/about_the_book/index.html
index 2308f9623..0ae985f39 100644
--- a/chapter_preface/about_the_book/index.html
+++ b/chapter_preface/about_the_book/index.html
@@ -1830,6 +1830,8 @@
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@@ -1898,14 +1900,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1923,7 +1961,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1943,7 +1981,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1963,7 +2001,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_preface/index.html b/chapter_preface/index.html
index 0291dee9c..ebd2844b9 100644
--- a/chapter_preface/index.html
+++ b/chapter_preface/index.html
@@ -1767,6 +1767,8 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1860,7 +1898,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1880,7 +1918,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1900,7 +1938,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3316,8 +3354,8 @@
Abstract
-这本书是为所有想要了解并掌握算法的读者编写的。
-无论你的背景如何，都可以在这里找到属于你的学习之旅。
+算法犹如美妙的交响乐，每一行代码都像韵律般流淌。
+愿这本书在你的脑海中轻轻响起，留下独特而深刻的旋律。
本章内容¶
diff --git a/chapter_preface/suggestions/index.html b/chapter_preface/suggestions/index.html
index dbfd3918a..8d4117aee 100644
--- a/chapter_preface/suggestions/index.html
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@@ -1844,6 +1844,8 @@
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1937,7 +1975,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1957,7 +1995,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1977,7 +2015,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_preface/summary/index.html b/chapter_preface/summary/index.html
index 91eacdba2..a1944e570 100644
--- a/chapter_preface/summary/index.html
+++ b/chapter_preface/summary/index.html
@@ -1779,6 +1779,8 @@
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@@ -1847,14 +1849,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
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@@ -1872,7 +1910,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1892,7 +1930,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1912,7 +1950,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_reference/index.html b/chapter_reference/index.html
index 29ab616ea..d1f0375f1 100644
--- a/chapter_reference/index.html
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@@ -1765,6 +1765,8 @@
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@@ -1833,14 +1835,50 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1858,7 +1896,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1878,7 +1916,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1898,7 +1936,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
diff --git a/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_example.png b/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_example.png
new file mode 100644
index 000000000..de3492b26
Binary files /dev/null and b/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_example.png differ
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index 5456be499..387587aa1 100644
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deleted file mode 100644
index 1be714bbd..000000000
Binary files a/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step0.png and /dev/null differ
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index 82ec2de45..f7c273671 100644
Binary files a/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step1.png and b/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step1.png differ
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index 5e971c425..7da591ddd 100644
Binary files a/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step2.png and b/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step2.png differ
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index 429a98926..f653e912e 100644
Binary files a/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step3.png and b/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step3.png differ
diff --git a/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step4.png b/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step4.png
index 86820ed32..3c63d109a 100644
Binary files a/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step4.png and b/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step4.png differ
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index 5e4855ef9..0477a640c 100644
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index 6de8cd607..7f348ec23 100644
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index 1b8f0fe49..196f5b1e9 100644
Binary files a/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step7.png and b/chapter_searching/binary_search.assets/binary_search_step7.png differ
diff --git a/chapter_searching/binary_search/index.html b/chapter_searching/binary_search/index.html
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@@ -18,7 +18,7 @@
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+ 10.2. 二分查找插入点
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- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
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@@ -1916,7 +1954,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1936,7 +1974,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1956,7 +1994,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3379,7 +3417,10 @@
Question
给定一个长度为 \(n\) 的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列，数组不包含重复元素。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 \(-1\) 。
-对于上述问题，我们先初始化指针 \(i = 0\) 和 \(j = n - 1\) ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 \([0, n - 1]\) 。其中，中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身。
+
+ Fig. 二分查找示例数据
+
+对于上述问题，我们先初始化指针 \(i = 0\) 和 \(j = n - 1\) ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 \([0, n - 1]\) 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。
接下来，循环执行以下两个步骤：
- 计算中点索引 \(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\) ，其中 \(\lfloor \space \rfloor\) 表示向下取整操作。
@@ -3391,12 +3432,9 @@
若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 \(-1\) 。
-
+
-
-
-
@@ -4059,13 +4097,13 @@
-
+
diff --git a/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png b/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png
new file mode 100644
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Binary files /dev/null and b/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png differ
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deleted file mode 100644
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Binary files a/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_naive.png and /dev/null differ
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deleted file mode 100644
index 87b5dfa7f..000000000
Binary files a/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step1.png and /dev/null differ
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deleted file mode 100644
index 3d1d5f8fe..000000000
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deleted file mode 100644
index 1b52576ea..000000000
Binary files a/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step3.png and /dev/null differ
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deleted file mode 100644
index bc4fbc438..000000000
Binary files a/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step4.png and /dev/null differ
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Binary files a/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step5.png and /dev/null differ
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index 184257cf3..000000000
Binary files a/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step8.png and /dev/null differ
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index 06949b887..000000000
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index 000000000..40d717a43
Binary files /dev/null and b/chapter_searching/binary_search_edge.assets/binary_search_right_edge_by_left_edge.png differ
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index 34a557139..4750226d8 100644
--- a/chapter_searching/binary_search_edge/index.html
+++ b/chapter_searching/binary_search_edge/index.html
@@ -15,7 +15,7 @@
-
+
@@ -26,7 +26,7 @@
- 10.2. 二分查找边界 - Hello 算法
+ 10.3. 二分查找边界 - Hello 算法
@@ -82,7 +82,7 @@
-
+
跳转至
@@ -117,7 +117,7 @@
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
@@ -1769,6 +1769,8 @@
+
+
@@ -1836,6 +1838,34 @@
+
+ -
+
+
+
+
+ 10.2. 二分查找插入点
+
+
+
+
+
+
+
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+
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+
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+
+
+
+
+
+
+
@@ -1851,9 +1881,17 @@
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
+
+
+
+
+
+
@@ -1862,9 +1900,17 @@
- 10.2. 二分查找边界
+ 10.3. 二分查找边界
+
+
+
+
+
+
+
+
@@ -1884,24 +1930,37 @@
@@ -1923,7 +1982,7 @@
- 10.3. 哈希优化策略
+ 10.4. 哈希优化策略
@@ -1943,7 +2002,7 @@
- 10.4. 重识搜索算法
+ 10.5. 重识搜索算法
@@ -1963,7 +2022,7 @@
- 10.5. 小结
+ 10.6. 小结
@@ -3344,24 +3403,37 @@
@@ -3387,244 +3459,83 @@
-10.2. 二分查找边界¶
-在上一节中，题目规定数组中所有元素都是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素。
+10.3. 二分查找边界¶
+10.3.1. 查找左边界¶
Question
-给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums ，数组可能包含重复元素。请查找并返回元素 target 在数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 \(-1\) 。
+给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums ，数组可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 target 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 \(-1\) 。
-10.2.1. 线性方法¶
-为了查找数组中最左边的 target ，我们可以分为两步：
+回忆二分查找插入点的方法，搜索完成后，\(i\) 指向最左一个 target ，因此查找插入点本质上是在查找最左一个 target 的索引。
+考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 target ，此时有两种可能：
-- 进行二分查找，定位到任意一个
target 的索引，记为 \(k\) 。
-- 以索引 \(k\) 为起始点，向左进行线性遍历，找到最左边的
target 返回即可。
+- 插入点的索引 \(i\) 越界；
+- 元素
nums[i] 与 target 不相等；
-
- Fig. 线性查找最左边的元素
-
-这个方法虽然有效，但由于包含线性查找，时间复杂度为 \(O(n)\) ，当存在很多重复的 target 时效率较低。
-10.2.2. 二分方法¶
-考虑仅使用二分查找解决该问题。整体算法流程不变，先计算中点索引 \(m\) ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系：
-
-- 当
nums[m] < target 或 nums[m] > target 时，说明还没有找到 target ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作，从而使指针 \(i\) 和 \(j\) 向 target 靠近。
-- 当
nums[m] == target 时，说明“小于 target 的元素”在区间 \([i, m - 1]\) 中，因此采用 \(j = m - 1\) 来缩小区间，从而使指针 \(j\) 向小于 target 的元素靠近。
-
-二分查找完成后，\(i\) 指向最左边的 target ，\(j\) 指向首个小于 target 的元素，因此返回索引 \(i\) 即可。
-
+当遇到以上两种情况时，直接返回 \(-1\) 即可。
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-注意，数组可能不包含目标元素 target 。因此在函数返回前，我们需要先判断 nums[i] 与 target 是否相等，以及索引 \(i\) 是否越界。
-
-
-
-binary_search_edge.java/* 二分查找最左一个元素 */
+binary_search_edge.java/* 二分查找最左一个 target */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
- int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- }
- if (i == nums.length || nums[i] != target)
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return i;
-}
+ // 等价于查找 target 的插入点
+ int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
+ // 未找到 target ，返回 -1
+ if (i == nums.length || nums[i] != target) {
+ return -1;
+ }
+ // 找到 target ，返回索引 i
+ return i;
+}
-binary_search_edge.cpp/* 二分查找最左一个元素 */
+binary_search_edge.cpp/* 二分查找最左一个 target */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
- int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- }
- if (i == nums.size() || nums[i] != target)
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return i;
-}
+ // 等价于查找 target 的插入点
+ int i = binarySearchInsertion(nums, target);
+ // 未找到 target ，返回 -1
+ if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
+ return -1;
+ }
+ // 找到 target ，返回索引 i
+ return i;
+}
binary_search_edge.pydef binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
- """二分查找最左一个元素"""
- i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while i <= j:
- m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
- if nums[m] < target:
- i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
- elif nums[m] > target:
- j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
- else:
- j = m - 1 # 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- if i == len(nums) or nums[i] != target:
- return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
- return i
+ """二分查找最左一个 target"""
+ # 等价于查找 target 的插入点
+ i = binary_search_insertion(nums, target)
+ # 未找到 target ，返回 -1
+ if i == len(nums) or nums[i] != target:
+ return -1
+ # 找到 target ，返回索引 i
+ return i
-binary_search_edge.go/* 二分查找最左一个元素 */
-func binarySearchLeftEdge(nums []int, target int) int {
- // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- i, j := 0, len(nums)-1
- for i <= j {
- // 计算中点索引 m
- m := i + (j-i)/2
- if nums[m] < target {
- // target 在区间 [m+1, j] 中
- i = m + 1
- } else if nums[m] > target {
- // target 在区间 [i, m-1] 中
- j = m - 1
- } else {
- // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- j = m - 1
- }
- }
- if i == len(nums) || nums[i] != target {
- // 未找到目标元素，返回 -1
- return -1
- }
- return i
-}
+
-binary_search_edge.js/* 二分查找最左一个元素 */
-function binarySearchLeftEdge(nums, target) {
- let i = 0,
- j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target) {
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- } else if (nums[m] > target) {
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- } else {
- j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- }
- }
- if (i == nums.length || nums[i] != target) {
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- }
- return i;
-}
+
-binary_search_edge.ts/* 二分查找最左一个元素 */
-function binarySearchLeftEdge(nums: number[], target: number): number {
- let i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target) {
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- } else if (nums[m] > target) {
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- } else {
- j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- }
- }
- if (i == nums.length || nums[i] != target) {
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- }
- return i;
-}
+
-binary_search_edge.c/* 二分查找最左一个元素 */
-int binarySearchLeftEdge(int *nums, int size, int target) {
- int i = 0, j = size - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- }
- if (i == size || nums[i] != target)
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return i;
-}
+
-binary_search_edge.cs/* 二分查找最左一个元素 */
-int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
- int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- }
- if (i == nums.Length || nums[i] != target)
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return i;
-}
+
-binary_search_edge.swift/* 二分查找最左一个元素 */
-func binarySearchLeftEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
- // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- var i = 0
- var j = nums.count - 1
- while i <= j {
- let m = i + (j - 1) / 2 // 计算中点索引 m
- if nums[m] < target {
- i = m + 1 // target 在区间 [m+1, j] 中
- } else if nums[m] > target {
- j = m - 1 // target 在区间 [i, m-1] 中
- } else {
- j = m - 1 // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- }
- }
- if i == nums.count || nums[i] != target {
- return -1 // 未找到目标元素，返回 -1
- }
- return i
-}
+
@@ -3632,236 +3543,95 @@
-binary_search_edge.dart/* 二分查找最左一个元素 */
-int binarySearchLeftEdge(List<int> nums, int target) {
- int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中间索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- }
- if (i == nums.length || nums[i] != target) return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return i;
-}
+
-binary_search_edge.rs/* 二分查找最左一个元素 */
-fn binary_search_left_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
- let mut i = 0;
- let mut j = nums.len() as i32 - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while i <= j {
- let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if nums[m as usize] < target {
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- } else if nums[m as usize] > target {
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- } else {
- j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
- }
- }
- if i == nums.len() as i32 || nums[i as usize] != target {
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- }
- i
-}
+
-10.2.3. 查找右边界¶
-类似地，我们也可以二分查找最右边的 target 。当 nums[m] == target 时，说明大于 target 的元素在区间 \([m + 1, j]\) 中，因此执行 i = m + 1 ，使得指针 \(i\) 向大于 target 的元素靠近。
-完成二分后，\(i\) 指向首个大于 target 的元素，\(j\) 指向最右边的 target ，因此返回索引 \(j\) 即可。
-
+10.3.2. 查找右边界¶
+那么如何查找最右一个 target 呢？最直接的方式是修改代码，替换在 nums[m] == target 情况下的指针收缩操作。代码在此省略，有兴趣的同学可以自行实现。
+下面我们介绍两种更加取巧的方法。
+复用查找左边界¶
+实际上，我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素，具体方法为：将查找最右一个 target 转化为查找最左一个 target + 1。
+查找完成后，指针 \(i\) 指向最左一个 target + 1（如果存在），而 \(j\) 指向最右一个 target ，因此返回 \(j\) 即可。
+
+ Fig. 将查找右边界转化为查找左边界
+
+请注意，返回的插入点是 \(i\) ，因此需要将其减 \(1\) ，从而获得 \(j\) 。
+
-binary_search_edge.java/* 二分查找最右一个元素 */
+binary_search_edge.java/* 二分查找最右一个 target */
int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
- int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- }
- if (j < 0 || nums[j] != target)
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return j;
-}
+ // 转化为查找最左一个 target + 1
+ int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1);
+ // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
+ int j = i - 1;
+ // 未找到 target ，返回 -1
+ if (j == -1 || nums[j] != target) {
+ return -1;
+ }
+ // 找到 target ，返回索引 j
+ return j;
+}
-binary_search_edge.cpp/* 二分查找最右一个元素 */
+binary_search_edge.cpp/* 二分查找最右一个 target */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
- int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- }
- if (j < 0 || nums[j] != target)
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return j;
-}
+ // 转化为查找最左一个 target + 1
+ int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
+ // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
+ int j = i - 1;
+ // 未找到 target ，返回 -1
+ if (j == -1 || nums[j] != target) {
+ return -1;
+ }
+ // 找到 target ，返回索引 j
+ return j;
+}
binary_search_edge.pydef binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
- """二分查找最右一个元素"""
- i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while i <= j:
- m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
- if nums[m] < target:
- i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
- elif nums[m] > target:
- j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
- else:
- i = m + 1 # 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- if j < 0 or nums[j] != target:
- return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
- return j
+ """二分查找最右一个 target"""
+ # 转化为查找最左一个 target + 1
+ i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
+ # j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
+ j = i - 1
+ # 未找到 target ，返回 -1
+ if j == -1 or nums[j] != target:
+ return -1
+ # 找到 target ，返回索引 j
+ return j
-binary_search_edge.go/* 二分查找最右一个元素 */
-func binarySearchRightEdge(nums []int, target int) int {
- // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- i, j := 0, len(nums)-1
- for i <= j {
- // 计算中点索引 m
- m := i + (j-i)/2
- if nums[m] < target {
- // target 在区间 [m+1, j] 中
- i = m + 1
- } else if nums[m] > target {
- // target 在区间 [i, m-1] 中
- j = m - 1
- } else {
- // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- i = m + 1
- }
- }
- if j < 0 || nums[j] != target {
- // 未找到目标元素，返回 -1
- return -1
- }
- return j
-}
+
-binary_search_edge.js/* 二分查找最右一个元素 */
-function binarySearchRightEdge(nums, target) {
- let i = 0,
- j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target) {
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- } else if (nums[m] > target) {
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- } else {
- i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- }
- }
- if (j < 0 || nums[j] != target) {
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- }
- return j;
-}
+
-binary_search_edge.ts/* 二分查找最右一个元素 */
-function binarySearchRightEdge(nums: number[], target: number): number {
- let i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target) {
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- } else if (nums[m] > target) {
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- } else {
- i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- }
- }
- if (j < 0 || nums[j] != target) {
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- }
- return j;
-}
+
-binary_search_edge.c/* 二分查找最右一个元素 */
-int binarySearchRightEdge(int *nums, int size, int target) {
- int i = 0, j = size - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- }
- if (j < 0 || nums[j] != target)
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return j;
-}
+
-binary_search_edge.cs/* 二分查找最右一个元素 */
-int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
- int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- }
- if (j < 0 || nums[j] != target)
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return j;
-}
+
-binary_search_edge.swift/* 二分查找最右一个元素 */
-func binarySearchRightEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
- // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- var i = 0
- var j = nums.count - 1
- while i <= j {
- let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
- if nums[m] < target {
- i = m + 1 // target 在区间 [m+1, j] 中
- } else if nums[m] > target {
- j = m - 1 // target 在区间 [i, m-1] 中
- } else {
- i = m + 1 // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- }
- }
- if j < 0 || nums[j] != target {
- return -1 // 未找到目标元素，返回 -1
- }
- return j
-}
+
@@ -3869,55 +3639,30 @@
-binary_search_edge.dart/* 二分查找最右一个元素 */
-int binarySearchRightEdge(List<int> nums, int target) {
- int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while (i <= j) {
- int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中间索引 m
- if (nums[m] < target)
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- else if (nums[m] > target)
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- else
- i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- }
- if (j < 0 || nums[j] != target) return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- return j;
-}
+
-binary_search_edge.rs/* 二分查找最右一个元素 */
-fn binary_search_right_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
- let mut i = 0;
- let mut j = nums.len() as i32 - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
- while i <= j {
- let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
- if nums[m as usize] < target {
- i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
- } else if nums[m as usize] > target {
- j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
- } else {
- i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
- }
- }
- if j < 0 || nums[j as usize] != target {
- return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
- }
- j
-}
+
-观察下图，搜索最右边元素时指针 \(j\) 的作用与搜索最左边元素时指针 \(i\) 的作用一致，反之亦然。也就是说，搜索最左边元素和最右边元素的实现是镜像对称的。
-
- Fig. 查找最左边和最右边元素的对称性
+转化为查找元素¶
+我们知道，当数组不包含 target 时，最后 \(i\) , \(j\) 会分别指向首个大于、小于 target 的元素。
+根据上述结论，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界：
+
+- 查找最左一个
target ：可以转化为查找 target - 0.5 ，并返回指针 \(i\) 。
+- 查找最右一个
target ：可以转化为查找 target + 0.5 ，并返回指针 \(j\) 。
+
+
+ Fig. 将查找边界转化为查找元素
-
-Tip
-以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。
-
+代码在此省略，值得注意的有：
+
+- 给定数组不包含小数，这意味着我们无需关心如何处理相等的情况。
+- 因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量
target 改为浮点数类型。
+
@@ -3996,7 +3741,7 @@